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平行型基本图形背景下的综合问题

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解法分析：本题是梯形背景下与平行型相关的综合问题，主要涉及证明线段平行、求某个角的锐角三角比、求三角形的面积。

首先分析图中基本图形：根据AE//BC，有一组AE-BC-X型基本图形，根据BO=2OE，可以确定这组基本图形线段间的数量关系。本题的第(1)问是证明OF//DC，要证明线段平行，则需要证明这组线段所在的比例线段对应成比例，即构造平行型基本图形。本题选用其中一种方法，就是延长BE、CD交于点P。因此，构造出了DE-BC-A型基本图形及OF-CD-A型基本图形，通过证明BO:OP=BF:CF，即可证明OF//DC。

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本题的第(2)问根据已知条件中的等积式可以先证明△OFG∽△OFC，进而通过导角，可以进一步证明△FGC∽△FDC，通过借助两组平行型基本图形，可以得到FC、FG、FD之间的数量关系。

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由于要求∠DCB的余弦值，因此需要过点D作BC的垂线，通过计算可知，∠DFC=∠DCF，结合DF、CF的数量关系，即可求解。

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本题的第(3)问是等腰三角形的存在性问题，需要分类讨论，本题的关键是需要求出FC边上的高，可以借助FG与DG之间的比例关系求解FC边上的高，问题的解决突破口就转化为AB的长度，根据图中线段间的比例关系，借助勾股定理求解。

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问题变式1

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解法分析：可以发现变式问题的题设和结论与上一道练习正好交换，因此可以沿用上一道题的思路和方法进行解决。首先分析图中基本图形：根据AE//BC，有一组AE-BC-A型基本图形，根据BF=2EF，可以确定这组基本图形线段间的数量关系；还有一组AD-CG-X型基本图形，但是要先证明G为BC中点，才可以得到线段间的比例关系型。根据GF//CD，有一组GF-CD-X型基本图形，AG游戏这组基本图形线段间的数量关系依托DP:CG的值，才能确定剩余的线段的比例关系。本题的第(1)问要证明点G为BC中点，根据前面的分析，要证明G为BC的中点，需要添加辅助线，因此依托GF//CD，通过延长BE、CD交于点Q，多次利用图中的平行型基本图形，最后借助GF-CP-A型基本图形进行证明。

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本题第(2)问的题设给出了△FGP∽△FGC，通过角之间的大小关系，可以得到∠FGP=∠FCG，再利用FG//CD，得到∠FGP=∠GDC，从而证明得到△CGP∽△DGC，利用共边共角型相似基本图形，得到一组等积式。除此以外，还需要利用AD-CG-X型基本图形，确定DP和GP之间的比例关系，进而代入等积式中求解。

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本题第(3)问是是求△PCG的面积，这个三角形的底CG=2，因此问题就，因此问题就在与如何求CG边上的高PK。通过借助AD//CG，反向延长KP至点N。因此要求PK的长，就在与需要知道①NK的长度(即AB的长度)；②求出PK:NK的值。

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      对于②依托AD-CG-X型基本图形，可以求出DP:PG的值，进而再利用NK-GK-A型图求出PK:NK的值；对于①利用另一已知条件(∠EDP与∠AFE互补)，延长GD、BE交于点M，构造相似三角形△AFE和△EDM(先需要利用DE-BG-A型图证明EM=BE)，进而利用线段间的比例关系求出EM(BE)的长度，再利用勾股定理求出AB长度，进而求出PK的长度。

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问题变式2:2024上海中考25题

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