函数到底是什么？

经常碰到小朋友问我这个问题，今天就来聊聊这个话题。

01

基本认知

在生活中，你可能有这样的认知——

没有规则约束的事情，做了也不一定有结果，甚至一样的做法，却带来不同的结果。

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比如种菜，如果你没有科学的方法，按照规则一步步来，最后有没有收获是不确定的。所谓“种瓜得瓜，种豆得豆”只不过是一种理想状态。

但如果事先约定好，怎么做，按照一定的规则和流程，那么事情就好办了，预期的结果是确定的。

比如说考试，因为约定了60分及格，所以只要你考的分数不低于60分，你就通过考试了，而不用担心因为你只考了61分而被嫌分数太低，被判不及格。

另一方面，你可能也体会到——

虽然没有约定规则，只要两件事的初始条件完全一样，则结果也必定一样。如果发现它们的结果不同，那说明一定发生了某种不同的事，只是你忽略了。

比如说，你投篮，只要你两次抛球的位置和高度、力度和速度、球的转速和运动方向，还有外界的干扰等等所有条件都完全一样，你两次投篮的结果必定相同！

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有人说，他今天早上跑步，与昨天完全一样的条件，结果5公里下来，他感觉不舒服，速度也慢了一些，为什么？仔细想来，原来他昨晚没睡好。

上面说的两点，规则和初始条件，都有一个基本特点——固定不变！否则就不能保证结果一样。

02

函数的本质

只要规则和初始条件都一样，一切的结果都将是一样的。

你可能会问，世界真的是这样吗？

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当然！自然世界像一台高度精密的机器，你只要按照规则操作，并且每次操作过程都一样，世界机器一定会忠实地为你提供确定的输出。

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但是，人们对这件事还是心存怀疑的，更不要说社会中的事，觉得它们都不可靠！毕竟，现实世界中的不确定性的事情太多太多！

于是，追求完美的人类别无选择！他们想在自己的逻辑思维体系里将那个真正的、理想的世界机器构筑起来，从而保证它是绝对完美的。

这里所说的“逻辑思维体系”就是人类头脑中的科学，它就是数学。

而那个理想的世界机器，就成为数学中的一种重要的逻辑关系——确定的条件得到唯一确定的结果！

是的，它就是函数！

函数就是世界机器的理想化模型，它总是执行确定的运算，只要你给一样的输入，它就给出确定的输出。

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比如说，规定的运算是“对输入的数乘2加3”，那么无论你输入什么数，它都给它乘2再加3，如果你两次给一样的数，它吐出的数都是唯一确定的。

这可以记为 左边是输入的数，右边是输出的数。

例如，你输入1，它给出5；你输入2，它给出7；你再输入1，它依旧给出5。也就是说，相同的输入得到唯一确定的输出，它是函数。

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函数保证相同的输入得到一样的输出。那么，有没可能不同的输入，但输出却相同呢？

当然可以！因为这并不是函数的基本要求——“确定的条件得到唯一确定的结果”的对立面，所以也是符合函数的要求的。

例如，规定的运算是“先平方，再除以2，再减去1”，那可以记为 同样地，只要你给  赋相同的数，它一定会给出一样的结果，它也是一个函数。并且，若先后给两个相反数，它也给出一样的结果。

但是，若规定的运算是“取算术平方根”，那可以记为 此时，当你输入一个正数时，它会给出两个值，这不是唯一确定的结果，所以“取算术平方根”这个规则并不对应一个函数。

可能有小伙伴发现，如果将上面  中的两个去掉一个，变成

    或   

那么这两个都是函数了。

这就完了吗？没有没有！继续往下看吧。

03

函数的三要素

就拿函数  来说吧，如果我喂给它一个负数，它吐出什么？

在实数范围内，负数无法开方，它什么都吐不出来！但函数要求必须给出唯一确定的结果！怎么办？

有办法了，只要我们约定它在正数范围内就可以了！

这种对输入的数约定的范围，叫做函数的定义域！例如，若运算规则为“取倒数”，则定义域是不为零的任何数。

而函数输出的值所属的范围，相应的叫值域。例如，若运算规则为“平方”，若定义域为实数，AG庄闲游戏则值域为非负实数。

有了这两个概念，函数的要求更加明确了——对定义域内的任何数作为输入，函数在值域内有且只有一个确定的输出。

没错，运算规则、定义域和值域，就是函数的三要素！

函数就像一河两岸，左岸是定义域，右岸是值域，运算规则像桥梁，负责连接左右两岸的每一个元素。必须保证左岸每个元素在右岸有且只有一个对应元素，还必须保证右岸每个元素在左岸至少有一个对应元素。

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比如，上图中的两种情况，都不满足函数的要求，而下图是符合要求的。

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剩下一个问题，函数应该怎样统一、科学地表示呢？

04

函数的表示符号

上面，我们表示函数的方法很简单直接：用一个箭头连接输入和输出。虽然浅显易懂，但这不是函数的表示方法。

历史上，函数的表示方法也经历了多次改变。

曾经有人提出如下这样表示： 这里的  代表运算法则，用  表示输入的量，叫自变量，它的值是定义域中的量；用  表示输出的量，叫因变量，它的值是值域中的量，叫函数值。

字母  取自单词function的首字母，表示具有某种功能（运算），它就像一个具有特定功能的机器，喂给它一个定义域中的量，它就返回一个值域中的量。

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大家想，如果  有一张嘴巴多好，只要把  放入就行了！没办法，那就请括号  来帮忙吧，于是就有了下面这样的表示，它是一个运算过程。

这个括号就像函数机器的入口，变量进入口中后，就被  施以某种固定的运算操作，得到的结果通过等号  这个管道，输送给  作为输出。所以，它同时也表示——  是  的函数。

所以，函数本身的核心符号是  ，括号  只是为了方便放入自变量的值而开的一个口子，等号  相当于输送辅助管道，都是外围设备。

比如，对  这个函数来说，  就代表那个箭头，它负责把  转换成  ，其转换法则是“先平方，再除以2，接着减去1”。

据此理解， 可以这样表示函数  本身 上面的冒号表示，后面这套法则已经被  记住了，对外它虽然样子还是没变，还是一个  ，但此时就是一个具有特定功能的机器了！

现在喂给它一个数，例如  ，它就给出  的函数值，这个过程表示为 

一切都似乎差不多了，但函数  自身表示的缺点很明显——不够简便。

怎么才能将运算法则优雅地告诉  呢？

那就让自变量的符号  来帮忙，借助它把运算规则表示出来，再赋给  ，就是下面这样这就是借助  来表示的函数  ，它是一个运算规则。

既然函数 只有在借用  来帮忙时，它才可以表示为这么简便，那必须清晰的告诉人们存在这个“帮忙”，最好的符号无疑是  ！

至此，我们得到了函数的运算规则的表示 这个式子也是定义一个函数的常用方法。

例如，定义函数 如果有多个变量，也可以定义多元函数，例如二元函数 注意：按照权威数学家的说法，  是函数本身，它代表一种特定的运算规则，而  是对这种规则的兑现和表示，是  作用于  后得到的结果！ 

05

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小结

至此，我们已经知道了有关函数的四个基本问题——

函数的本质是什么？

函数的三要素是什么？

函数的表示符号是什么？

如何定义一个函数？

不过，关于函数，还有很多东西要学习，这里就不说太多了。到此，诸君可以参照生活中的各种事物，来为函数举例，以加深理解。比如，人们的体重  随着时间  变化，由于任何人每时刻都有唯一确定的体重，所以人的体重是时间的函数。再比如，每个人的人生轨迹也是一个时间的函数，因为每时刻你必定在某个位置——无论社会位置还是地理位置。当你和别人际遇之时，代表两个人的人生函数值相等，你们的人生轨迹相交了。

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既然人生是时间的函数，它的每个函数值是唯一确定的，所以人生不能回头，每个时刻你的选择只有一种。

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作业题

已知在实数域ℝ上的函数定义如下

求  的值，并努力尝试求  的值。

参考文献

龚升，简明微积分，高等教育出版社，2006，4.https://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/Main.pdfhttps://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)https://www.britannica.com/science/function-mathematics/Inverse-functionshttps://github.com/lcp0578/book-note/blob/master/books/mathematics/普林斯顿微积分读本/README.md

END

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